元宇宙的数学解释

　　在所有关于自然学科的特定理论中，我所能够发现多少数学，就能发现多少真正的科学。

　　——康德

　　元宇宙作为一种存在，需要数学表达，或者说，元宇宙本身所包含的数学，需要我们去挖掘。本文就是基于这样的一种努力，希望通过拓扑、抽象代数和自然变换等数学工具解析元宇宙。但是，这仅仅是一种初级尝试。因为如何用数学解析和表达元宇宙，还有很远的路要走。

　　拓扑空间

　　拓扑学(topology)，直译是“地志学”，最早是指研究地形、地貌相类似的有关学科。拓扑学所关注的是物体间的位置关系，而不是它们的形状和大小，主要以各种“空间”在连续性的变化下不变的性质和不变量为研究对象的数学分支。或者说拓扑学是用映射(函数)的方法，研究空间变换，不同形态之间变化后保持不变的性质的学科。一般定义的拓扑学，是狭义的拓扑学，寻找一个空间立方体在空间变换中存在的不变规律和普适规律。哲学意义上理解拓扑学，更接近广义拓扑学。

　　早在17世纪，莱布尼茨指出“位置的几何学”(geometria situs)和“位相分析”(analysis situs)，提出了拓扑学的最初基本概念。

　　1736年，瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler ，1707—1783)的柯尼斯堡七桥问题与欧拉示性数被认为是该领域最初的定理。

　　1848年，利斯廷(Johann Benedict Listing，1808—1882)第一次采用“拓扑学”一词。

　　1851年，黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826—1866)定义了黎曼面，极大地推动了拓扑学的建立。

　　1858年，默比乌斯(Mobius，1790—1868)和利斯廷独立地发现不可定向曲面。

　　1863年，默比乌斯给出形势几何学的定义。使拓扑学正式成为一门独立学科，归功于庞加莱(Jules Henri Poincaré，1854—1912)。

　　20世纪以来，拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。

　　20世纪30年代以后，提出诸如一致性结构概念、抽象距概念和近似空间等概念，拓扑学得以显著发展。

　　拓扑学在理论上已经呈现两个分支：其一偏重于用分析的方法来研究的，叫作点集拓扑学，或者叫作分析拓扑学;其二偏重于用代数方法来研究的，叫作代数拓扑。

　　现在，这两个分支又有统一的趋势。因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。现在，“一个很吸引人的想法是通过几何化的方式描述物质，并用几何中的拓扑性质描述物质的那些守恒性质”。

　　在拓扑学里，拓扑空间是核心概念。拓扑空间是具有最基本的结构的一组数学对象。

　　拓扑空间定义：拓扑空间(X，τ)的数学对象集合是X，空间拓扑是τ，τ包含X的一系列子集，满足下列条件：

　　(1)X和空集包含在τ中;

　　(2)τ中集合的任何并集也在τ中;

　　(3)τ中集合的任何有限交集也都在τ中。

　　如果指定了X的一个子集族τ其中集合叫X中的开集，它具有下列性质：

　　则称集合X装备了拓扑空间结构或装备了拓扑，或者称X是拓扑空间。

　　通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。在函数范畴，如果A是自变量，B是因变量。在拓扑范畴，自变量被称为“原象的集合”，因变量被称为“象的集合”。映射所指的就是“原象集合”和“象的集合”的函数变化关系。见附图1。

　　附图1“原象集合”和“象的集合”函数变化关系

　　因为拓扑性质使然，拓扑空间具有针对集合的紧致性与连通性;针对子集的稠密性，以及针对映像的连续性特征。

　　一般的拓扑空间中已无范数，只有开集，所以拓扑学一上来就定义开集。

　　拓扑空间中连续性的定义是，X，Y是拓扑空间，f：X→Y是映射，f在X中连续的充要条件是，对于Y中的任意开集U，f-1(U)是X中的开集。

　　计算机网络引入拓扑结构概念，是指网络中各个站点、节点相互连接的形式，反映网络中各实体的结构关系，是建设计算机网络的第一步，也是实现各种网络协议的基础，它对网络的性能、系统的可靠性与通信费用都有重大影响。

　　拓扑空间无疑为思考元宇宙空间提供了思想资源。因为元宇宙就是一种拓扑空间形态。

　　元宇宙和抽象代数

　　抽象代数(abstract algebra)又称近世代数(modern algebra)，是研究各种抽象的公理化代数系统数学学科，并与数学其他分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科，也是现代计算机理论基础之一，产生于19世纪。

　　抽象代数的重要奠基人是伽罗瓦(E. Galois，1811—1832)，他提出的伽罗瓦群理论被公认为19世纪最杰出的数学成就之一。之后，经过数学家凯利(Cayley，1821—1895)、戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831—1916)、施坦尼茨(Wihelm Steinit)、数学家诺特(Emmy Noether，1882—1935)等，最终构建了现代抽象代数体系。

　　虚拟世界和现实世界的关系，非常符合抽象代数的“同构群定理”。抽象代数研究基本代数结构性质以及能在代数结构间保持运算性质的映射(也叫态射，morphism)。通过研究确定一个对象集合的性质以理解与解决另一个对象集合中的复杂关系问题，寻找可能存在于它们之间的某种集合元素所对应变换的等价性。如果R是现实世界的客体元素集合，R′是虚拟世界或元宇宙中的虚拟元素集合，进而R′是对现实世界R的缩小或压缩，即虚拟世界R′ < 现实世界R。所谓的“元宇宙”就是现实世界R与虚拟世界R′之并集。抽象代数所建立的同态映像与同构模型，有助于我们理解“元宇宙”与现实世界的关系。见附图2。

　　附图2 同态映像图示

　　抽象代数的基本概念是群(group)、环(ring)、域(field)。或者说，群、环、域构成抽象代数的基本代数结构。讨论元宇宙和抽象代数的关系，着重集中在群理论和群模型。

　　基本定义：(1)代数运算。定义了一个代数运算的非空集合。(2)结合律。(ab)c = a(bc)，Aa， b， c∈G。(3)单位存在律。Ae∈G， ea = ae = a， Aa∈G。(4)逆元存在律。Aa∈G， Ab∈G， ab = e。

　　群定义的衍生：(1)群(group)，满足前述4条群的基本定义的非空集合。(2)半群(semigroup)，仅满足前述群的基本定义中的前2条的非空集合：定义了集合上的代数运算;适用结合律，但不要求存在单位和逆元。(3)幺半群(monoid)，满足前述群的基本定义中的前3条的非空集合：定义了集合上的代数运算;适用结合律;存在单位，但不要求存在逆元。(4)阿贝尔群(Abelian group)，在满足前述全部4条群的基本定义的前提下，再补充一条：群元素满足交换律。

　　群与现实世界：(1)平面晶体群(plane crystallographic group)，又被称为“贴墙纸群”(wallpaper group)，G. Polya已经在1924年完成对平面晶体群的分类：共有17种不同的平面晶体群。(2)空间晶体群(space crystallographic group)，Fedorov和Schonflies分别独立地证明了空间晶体群共有230个。(3)魔方群(Rubik’s Cube group)。

　　群与数集：整数加群，实数加群，n次单位根群(Un的生成元成为复数域中的本原n次单位根)。几何中群的例子主要包括：(1)欧几里得群(Euclidean group)，符号En，定义为n维空间所有正交点变换的集合;(2)二面体群(dihedral group)，符号Dn，定义为正n边形的对称群，n≥3。

　　群与代数：相对复杂，见附表1。

　　附表1 群与代数

　　群与元宇宙的关系，涉及群与对称性本质，以及群的9个定义。

　　定义1：假定集合X={1，2，3，…，n}，集合X的一个置换是对自身的一个双射。

　　定义2：集合X的所有置换，记为Sx，称为集合X上的一个对称群。当X={1，2，3，…，n}时，Sx一般记为Sn，称为n字母的对称群。

　　定义3：假设α∈Sn，i∈{1，2，3，…，n}.如果α (i) = i，则称为α固定i，否则称α移动i。

　　定义4：设i1，i2，…，ir是{1，2，3，…，n}中的不同整数，如果α (i1) = i2，α (i2)=i3，…，α (ir-1)=ir，α (ir)=i1，且α固定其他整数，我们称α为r-轮换，也叫长度为r的一个轮换。称长度为2的轮换2-轮换为对换，1-轮换为单位元。

　　定义5：如果G是一个群，r∈G，记〈r〉= {rn：r∈G} = {r的所有幂}，称〈r〉是由r产生并属于G的循环子群。如果存在r∈G使得G =〈r〉，则称G是一个循环群，r是循环群G的生成子。见附图3。

　　附图3 循环群同构

　　数学(代数)结构示例：循环群中每一个元素都由一个特殊元素(generator：生成子)的循环运算(比如指数幂运算)生成，构成一个自我封闭的循环，生成元素的个数称为循环群的阶。循环群是最简单的代数结构。如附图3所示，外层从左到右，分别为3、5和n个元素组成的循环群，都由同一个元素生成，内层为通过f变换映射出来的另一个同构的集合。内外两层元素组成的集合的性质在f变换下是相同的，如果研究外层元素集合比较困难，可以做一个同构(同态)变换，转而研究比较简单的内层元素集合的性质，二者是等价的。

　　数字推盘游戏(n-puzzle)是一种最早的滑块类游戏，常见类型有十五数字推盘游戏和八数字推盘游戏，也有以图画代替数字的推盘游戏。Noyes Palmer Chapman在1874年发明十五数字推盘，Sam Loyd 在1891年也宣称有其发明权。

　　附图4所示为一个15-puzzle初始状态，移动规则是：#字符只能上下/左右移动，与相邻一数字进行换位。游戏的目标是通过有限步移动#字符，使得包括#字符的16个字符恢复成如附图5的最终有序状态。

　　附图4 游戏初态

　　附图5 游戏终态

　　历史上的游戏实践表明，有的15-puzzle初始状态可以通过有限步移动恢复最终有序状态，有的则不行。按照游戏移动规则，只能通过移动#字符才能更新字符排列状态，因此，如果要求最终状态的#字符必须回到原位，则#字符的移动步数必须是偶数步。如果把#字符的每一步移动等价为一个对换，通过置换群理论可以判断任何一个游戏初态是否能够通过游戏移动规则回到最终状态。我们把游戏初态看成是最终状态的一个置换，可以根据置换分解定理及置换的奇偶性判断一个游戏初态的奇偶性，如果游戏初态是偶性的，则可以通过有限步恢复最终有序状态;如果游戏初态是奇性的，则不能够通过有限步恢复最终有序状态。例子中的初始状态置换可分解为α=(1 3 4 8 9 2 15 14 7)(5 10)(6 11 13)(12)(16)，可以计算其奇偶性sgn(α)=(-1)16-5=-1=奇性，因此，该初态不可能通过游戏规则恢复成最终有序状态。

　　定义6：运动变换是一种可以保持几何距离的双射变换，对于中的所有点和R2→R2，对于R2中的所有点P=(a，b)和Q=(c，d)，‖φ(P)-φ(Q)‖=‖P-Q‖，其中

　　。由所有运动变换构成复合函数下的一个运动变换群Μ，Μ是R2中置换群

　　的一个子群。如果P与Q是平面上两个点，记连接P点与Q点的线段为PQ，则运动变换满足以下性质：

　　存在三种基本运动变换：旋转、反射、位移。可以证明，任何一种运动变换都是此三种基本运动的复合，运动变换可以保存几何图形的性质。

　　旋转变换：由一个图形变换为另一个图形，在变换过程中，原图形上所有点都围绕一个固定点按同一个方向旋转同一个角度，这样的图形变换叫作图形旋转变换，简称旋转。这个点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

　　反射变换：由一个图形变换为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形变换叫作图形的反射变换，简称反射(reflection)，也称为轴对称变换。轴对称变换不改变原图形的形状和大小。

　　平移变换：由一个图形变换为另一个图形，在变换过程中，原图形上所有点都向同一个方向移动，且移动相等的距离，这样的图形变换称为图形的平移变换，简称平移。

　　附图6 旋转变换

　　附图7 反射变换

　　附图8 平移变换

　　如果φ是一种运动变换，PQ是平面中端点为P与Q的线段，则φ(PQ)就是端点为φ(P)与φ(Q)的线段。如果Ω是一个端点为υ1，υ2，…，υn的多边形，则φ(Ω)就是一个端点为φ(υ1)，φ(υ2)，…，φ(υ)的多边形，且Ω与φ(Ω)是全等的。

　　定义7：平面图形Ω的对称群Σ(Ω)是满足φ(Ω)=Ω的所有运动变换φ的集合，Σ(Ω)是平面图形Ω的对称图形集合。

　　定义8：端点为υ1υ2，…υn且中心为O的正多边形πn的对称群Σ(πn)，称为具有个2n元素的二面体群，记为D2n。

　　附图9 正六边形的对称性

　　拉格朗日定理：如果是有限群的子群，则一定是的一个除数因子。

　　定义9：对于两个群(G，*)和(H，·)，如果对于所有x，y∈G都存在f(x*y)=f(x)·f(y)，我们称函数f：G→H是一个同态映射。如果f还是一个双射，则函数f就是一个同构。如果群(G，*)和群(H，·)之间存在同构映射f：G→H，则G与H是同构的，记为

　　举例：加法群R与乘法群R>之间存在由函数f(x)=ex定义的一个同构，因为对于所有x，y∈R，我们都有f(x+y)=ex+y=exey=f(x)f(y)。复数加法群C与加法群R2存在一个由f：a+ib→(a，b)定义的同构映射f：C→R2。

　　第一同基定理：如果f：G→H是一个同态映射，则有

　　进一步，如果ker f=K，则函数φ：G/K→imf≤H是由φ：aK→f(a)定义的一个同构映射。

　　附图10 第一同构定理图示

　　可以认为虚拟世界R′是对现实世界R的缩小或压缩存在。一般地，虚拟世界R′<现实世界R。因此，元宇宙=现实世界R +虚拟世界R′。见附图11。

　　附图11 第一同构定理举例说明

　　A4：现实世界的客体及其关系，由12个元素构成，实质上可抽象成4个最简单的循环群，每个群3个元素:(e、a、a2)，(x、b、c2)，(y、d、b2)，(z、c、d2);

　　C3：代表虚拟世界，是现实世界中客体及其关系的抽象或压缩，可用3个元素表示：0，1，2;

　　Ker(φ)：称为φ的核，指A4中可被φ映像到C3中0元素的4个元素集合，即{e、x、y、z};

　　A4/Ker(φ)：通过Ker(φ)构造A4的商群，相当于取模运算的压缩作用，将A4中元素按照映像φ与核Ker(φ)分成3个子集：Ker(φ)、aKer(φ)和a2Ker(φ)，分别映射到C3中的0、1和2元素。

　　理解例子：

　　将0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11分成0、3、6、9[即Ker(φ)，可表示为3×i+0，i=0、1、2、3];

　　1、4、7、10[即aKer(φ)，可表示为3×i+1，i=0、1、2、3];

　　2、5、8、11[即a2Ker(φ)，可表示为3×i+2，i=0、1、2、3]。

　　通过φ映射，Ker(φ)映像成C3中0元素，aKer(φ)映像成C3中1元素，Ker(φ)映像成C3中2元素。

　　第二同构定理：如果H和K是群G的子群，[插图]，则HK也是一个子群，[插图]，并有[插图]。

　　第二同构定理说明，当一个子群是正规子群时，存在一个关于群阶的乘积关系，即：如果[插图]，则有[插图]，即[插图]。

　　第三同构定理：如果H和K是群H和K的正规子群，

　　。同构第三定理说明，(G/K/(H/K))中K中可以相互抵消。

　　第四同构定理(关联定理)：设(G/K/(H/K))中K是一个群，[插图]，π：G→G/K是一个自然映射，则S→π(S)=S/K是从G中所有包含G的子群Sub(G;K)到从G/K中所有子群Sub(G/K)的一个双射。

　　如果定义S*=S/K，则有：当且仅当T*≤S*时，我们有T≤S≤G，[插图];当且仅当T≤S≤G，[插图];时，我们有[插图]。

　　除了上面的4个同构定理之外，还涉及以下4个相关定理。

　　卡雷定理(Cayley)：每一个群都能在对称群SG中找到一个同构子群。如果|G|=n，则G与Sn的一个子群同构。

　　附图12 第四同构定理(关联定理)图示

　　陪集表达定理：设G是一个群，H是G的一个指数为n的子群，则存在一个同态φ：G→Sn，Ker φ≤H。

　　因为素数阶的群具有唯一性，我们只列出阶数为合数的一些有限群的非同构的群数量，见附表2。

　　附表2 有限群的非同构的群数量示例

　　科西定理(Cauchy)：如果有限群G的阶可以被素数p整除，则G中包含一个阶数为p的元素。

　　定义：如果G是作用在有限集合X上的一个群，x∈X，则x所在轨道，记为O(x)，是集合X的一个子集，O(x)={gx：g∈G}⊂X;定义x的稳定集，Gx，Gx={g∈G：gx=x}≤G，则Gx是G的一个子群。

　　非贝恩斯坦定理(not-Burnside’s Lemma)：假设G是作用在有限集合X上的一个群。如果N是轨道数量，则有[插图]，其中F(τ)是对于τ固定的集合X上的元素数量。应用举例：计算红白蓝三色带国旗设计方案数量。

　　假定国旗具有6个色带，每个色带的颜色可以为红白蓝三色之一，问：总共存在多少种不同的色带组合方式?

　　我们将色带排列看成由6个元素组成的排列组合集合X，x=(c1，c2，c3，c4，c5，c6)∈X。假设τ=(6，5，4，3，2，1)是对(1，2，3，4，5，6)的一个逆置换，即τ(123456)=(654321)=(16)(25)(34)，则由τ构成一个作用于集合X上的循环群[插图]。对于x=(c1，c2，c3，c4，c5，c6)，如果存在c1=c6，c2=c5，c3=c4，则τ(x)=x，即τ固定x。

　　因此，我们可以根据非贝恩斯坦定理计算6色带国旗的不同设计方案数量为：